Фамилия Телешинина — женская форма фамилии Телешинин, и её разговорный вариант Телешенина тоже встречается. Основа здесь — прозвище Телеш или Телеша. В русских говорах «телеш» — это не просто слово, а целое гнездо значений, и все они бытовые, крестьянские. Самое распространённое: телешом называли телёнка, особенно в северных и сибирских диалектах. Отсюда и прозвище — могли дать человеку, который ухаживал за телятами, или в насмешку, за сходство с телёнком (неуклюжий, молодой, несмышлёный).

Но есть и другая линия. В рязанских и тамбовских говорах «телеш» означало «голыш», «нагишом». Прозвище могли получить бедняк, который ходил в обносках, или просто чудак, любивший раздеться. Также в западных регионах «телеш» — это вид невода или сети, так что предок мог быть рыбаком. Третья версия, более редкая: от древнерусского нецерковного имени Телеш, которое тоже образовано от «телёнок» и известно по документам XVI века.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Телешинин буквально значит «сын Телеши» (Телеша — уменьшительная форма от Телеш). Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а, -я. Фамилия недворянская, скорее крестьянская или посадская, и географически тяготеет к северу и центру России — Архангельской, Вологодской, Костромской областям, где слово «телеш» в значении «телёнок» было в ходу.

Сравните с однокоренными Телешов, Телешев, Телешенков — все они восходят к тому же корню. Телешинина выделяется суффиксом -ин, что делает её более архаичной, характерной для северных говоров, где -ин было продуктивнее, чем -ов. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами, занимались скотоводством или рыболовством, а прозвище закрепилось за родом ещё в XVI–XVII веках.