Фамилия Тельнихина — женская форма фамилии Тельнихин, и её разговорный вариант (на -а) указывает на то, что носительница — женщина. Сама фамилия Тельнихин образована по модели, типичной для северных и сибирских регионов России: с помощью суффикса -их-. В отличие от более распространённых -ов/-ев и -ин, суффикс -их- (а также -ых) закрепился в фамилиях, которые указывали на принадлежность к определённой семье или роду: «чей?» — «Тельнихиных», то есть из дома Тельниха. Такие фамилии часто встречаются в Архангельской, Вологодской, Кировской областях, а также в старообрядческих общинах.

Основа фамилии — «тельник» или «тельниха». В русских говорах «тельник» — это либо нательная рубаха (от «тело»), либо, что более вероятно для прозвища, человек, который носил такую одежду или занимался её изготовлением. В старину «тельником» могли называть того, кто ходил в одной рубахе, не надевая верхней одежды, — возможно, бедняка или, наоборот, закалённого работягу. В некоторых диалектах «тельник» — это ещё и вид рыбацкой сети, так что предок мог быть рыбаком.

Мужская форма Тельнихин, а от неё и Тельнихина, закрепилась в письменных источниках не позднее XVIII века. Поскольку фамилии на -их/-ых редко проникали в официальные реестры центральных губерний (там предпочитали -ов/-ев), Тельнихины — это скорее всего выходцы из Поморья или Приуралья. В переписях XIX века такая фамилия фиксируется в Вятской и Пермской губерниях, что подтверждает её северно-русское происхождение.

Интересная деталь: у фамилии есть однокоренные «родственники» — Тельников, Тельниченко, Тельняков. Но Тельнихина стоит особняком именно из-за суффикса -их-, который сохранил архаичную форму родового прозвища. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был крестьянином или ремесленником из северных сёл, а прозвище получил по характерной детали быта — либо по одежде, либо по орудию труда.