Фамилия Терехине — крайне редкий вариант написания более распространённой фамилии Терехин. Ошибки в окончании здесь нет: форма на -е (а не на -ин) характерна для нескольких областей России, особенно для южнорусских говоров и некоторых регионов Сибири, где фамилии в бытовой речи склоняли по типу притяжательных прилагательных, а на письме закрепился вариант «чья?» — Терехине. В документах XIX — начала XX века такие написания встречаются у крестьян Воронежской, Курской и Тамбовской губерний.

Основа фамилии — имя Тереха. Это разговорная, просторечная форма канонического имени Терентий (от латинского Terentius — римское родовое имя, предположительно означавшее «трущий», «мнущий», но в народе переосмысленное как связанное с терпением). В русской ономастике Тереха — типичный пример усечённой основы с суффиксом -х(а), который придавал имени фамильярный, бытовой оттенок. Аналогично образуются Ермоха от Ермолай, Митроха от Митрофан.

Суффикс -ин в стандартной форме Терехин указывает на принадлежность: «чей сын?» — Терехин, то есть сын или потомок Терехи. В варианте Терехине тот же принцип, но с застывшим окончанием родительного-винительного падежа, которое в местных говорах стало восприниматься как именительный.

Таким образом, носитель фамилии Терехине — прямой потомок человека по имени Тереха (Терентий). Сословно это почти наверняка крестьянская среда: дворянские фамилии редко образовывались от таких просторечных форм. В писцовых книгах и ревизских сказках XVII–XVIII веков Терехи и Терехины встречаются среди черносошных крестьян и однодворцев юга России. Если ваши предки носили фамилию именно в форме Терехине, стоит искать их в архивах Курской, Воронежской или Орловской губерний — там этот вариант фиксируется чаще всего.