Фамилия Терешагина — женская форма фамилии Терешагин. Её основа — прозвище или нецерковное имя Терешага, которое образовано от имени Тереша. Тереша — это просторечная, уменьшительная форма крестильного имени Терентий (от латинского Terentius — римское родовое имя, возможно, связанное с глаголом «тереть» или означающее «упорный»). В русской народной традиции имена на -ша (Тереша, Федяша, Степаша) были широко распространены в быту, особенно в северных и центральных губерниях.

Суффикс -агин(а) в фамилии — редкая и примечательная деталь. В русском языке суффикс -аг(a) придавал слову оттенок просторечия или даже пренебрежения (сравните: «бедняга», «работяга»). Таким образом, Терешага могло означать «Тереша, которого ласково или с лёгкой иронией называли» — например, в кругу семьи или среди односельчан. Модель образования фамилии от формы с суффиксом -ага встречается нечасто, и это отличает Терешагиных от более массовых Терентьевых или Терешиных.

Географически фамилия Терешагин (и Терешагина) тяготеет к Поволжью и северо-западу России. По данным современных телефонных справочников и архивных записей, носители чаще всего встречаются в Кировской, Нижегородской областях и в Пермском крае. Это регионы, где фамилии на -ин и -агин формировались в крестьянской среде в XVI–XVII веках, когда отчества от прозвищ закреплялись за потомками.

Род занятий предка-Терешаги реконструировать трудно. Прозвище не указывает на профессию — оно личное, внутрисемейное. Можно лишь предположить, что первый носитель прозвища был человеком общительным или, наоборот, чудаковатым, если окружающие выделили его именно такой формой имени. В любом случае, фамилия Терешагина хранит в себе живой отголосок деревенского быта, где полное имя заменяли коротким и характерным прозвищем.