Фамилия Терешихина звучит как типичная «женская» форма, но на самом деле она указывает на мужского предка — Терешиху. В русской традиции фамилии на -ихин (как и на -ихин, -ыгин) обычно принадлежали крестьянскому или мещанскому сословию северных и центральных губерний, особенно распространены в Архангельской, Вологодской, Вятской областях. Это так называемые «полуотчества»: они отвечали на вопрос «чей?» — то есть «Терешихин сын» или «Терешихина дочь».

Основа фамилии — прозвище или неканоническое имя Терешиха. Оно образовано от имени Тереша (просторечная форма от Терентий) с помощью суффикса -их(а). В русских говорах суффикс -их(а) придавал имени фамильярный или женский оттенок, но мог и просто обозначать человека по его характерной черте: Терешиха — это либо «жена Тереши», либо сам Тереша, которого так прозвали в шутку или для отличия от других односельчан.

Само имя Терентий (от латинского Terentius — римское родовое имя) было в ходу у крестьян до середины XX века, но к концу XIX века почти вышло из обихода, сохранившись в фамилиях. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) модель на -ихин описывается как типичная для севера и востока России, где такие формы вытесняли стандартные -ов и -ин.

Вторая возможная версия — связь с диалектным словом «терешить» (в рязанских и тамбовских говорах — «теребить», «тормошить»). Если предок получил прозвище Терешиха за беспокойный или суетливый характер, то фамилия могла возникнуть независимо от имени Терентий. Однако это менее вероятно: прозвищ на -иха от глаголов в русской ономастике почти не встречается, а вот от личных имён — сплошь и рядом.

В современной России фамилия Терешихина встречается редко, в основном в регионах Русского Севера и в Поволжье. Сословно предки почти наверняка были государственными или помещичьими крестьянами — дворянских родов с таким окончанием фамилий не бывало.