Фамилия Терюшков — классический пример русской «патронимической» фамилии, то есть образованной от имени отца. Если коротко: предок носителя этой фамилии носил имя Терюшко, которое является просторечной, уменьшительной формой крестильного имени Терентий. В старину так звали человека в быту, в кругу семьи или на сельской улице, а уже его дети и внуки, отвечая на вопрос «чьи вы?», говорили: «Терюшковы», то есть «дети и потомки Терюшка».

Корень здесь — латинское слово terens («назойливый, утомительный»). В римской традиции это имя носил раннехристианский святой Терентий, поэтому оно попало в святцы и стало распространенным на Руси. Однако важно понимать: в самой фамилии нет никакого намека на «назойливость» предка. Церковное имя было обязательным при крещении, а уменьшительная форма использовалась как ласковая или обиходная. Терюшко — это не прозвище, а сокращение, подобно тому как Ивана звали Ванькой, а Петра — Петькой.

Словообразовательная модель здесь — суффикс -ов, который присоединялся к основе, оканчивающейся на согласный. Это самая массовая модель русских фамилий, и она указывает на принадлежность роду: Терюшков буквально значит «сын Терюшка». Интересно, что полная форма имени Терентий дала бы фамилию Терентьев, которая встречается чаще. А вот Терюшков — признак того, что в роду закрепилась именно домашняя, неофициальная форма имени. Это делает фамилию чуть более «народной» по звучанию, чем ее «официальный» аналог.

Точное место возникновения фамилии сейчас назвать сложно: процесс закрепления фамилий в разных регионах России растянулся на несколько столетий, с XVI по XIX век. Однако география бытования имени Терюшко (а значит, и фамилии) тяготеет к северным и центральным русским говорам, где была сильна традиция использования уменьшительных форм в качестве уличных имен. В писцовых книгах и метриках XVI–XVII веков нередко фиксировали крестьянина не как «Терентия», а именно как «Терюшку», и эта запись потом переходила в фамилию его детей.

Стоит упомянуть и редкий вариант написания — Терюшев. Он образован от той же основы, но с другим суффиксом (-ев), что говорит о возможном диалектном произношении или ошибке писаря. Сама фамилия Терюшков не является дворянской или княжеской — это типичный «крестьянский» и «купеческий» пласт русских фамилий, который формировался естественным путем, без искусственных прибавок вроде -ский. Поэтому она — не просто памятник письменности, а живая метка того, как в просторечии называли человека, чье полное имя звучало гордо и по-латински, а в быту оставалось теплым и коротким.