Фамилия Терюшова — женская форма, мужской вариант — Терюшов. В её основе лежит нецерковное имя или прозвище Терюш, а то, в свою очередь, — уменьшительная форма от имени Терентий. В народной речи полное имя Терентий сокращали до Теря, Терюха, Терюш, подобно тому как Михаил превращался в Миху и Мишу, а Пётр — в Петю и Петрушу. Суффикс -ов (-ев) указывает на принадлежность: Терюшов буквально означает «сын Терюша» или «из семьи Терюша».

Имя Терентий — латинского происхождения, от римского родового имени Terentius. В святцах оно появилось благодаря святому Терентию, жившему в I веке. Однако в крестьянской и посадской среде XV–XVII веков полные имена употребляли реже, чем их обиходные варианты. В старых документах встречаются записи вроде «Терюшко Иванов сын» — именно от таких форм и пошли фамилии на -ов. В северных и центральных русских говорах имя Терентий нередко произносили как Терёша, отсюда же фамилия Терёшин, но вариант Терюш — более редкий, с характерным южным или рязанским оттенком произношения.

В написании фамилии возможна путаница с созвучной Терёшова (от Терёша) или Терюхова (от Терюх). Но в фамилии Терюшова корень именно Терюш-: он сохраняет мягкое «р» и ударение на второй слог (Терюшо́ва). В дореволюционных метрических книгах могли писать и Терюшев, и Терюшов — единой нормы тогда не было, так что разные варианты в одной семье не редкость.

Социально фамилия недворянская: Терюшовы — это, скорее всего, крестьяне или мещане. Фамилия не слишком частая, но встречается в Тамбовской, Рязанской и Воронежской областях, что подтверждает её южнорусское происхождение. Если ваши предки оттуда, то имя Терентий в роду могло передаваться по традиции, а фамилия закрепилась за одной ветвью как раз по деду или прадеду Терюшу.