Фамилия Цапай звучит как отголосок глагола в повелительном наклонении: «цапай!» — то есть хватай, хватайся, бери. Именно в этой глагольной форме и кроется её происхождение. В русском языке такие фамилии — редкость, они относятся к так называемым «застывшим» формам повелительного наклонения (вроде фамилий Трубай, Дерзай, Стукай). Их давали не по имени отца и не по роду занятий, а по прозвищу, которое отражало характер или привычку человека.

Основа «цапать» в русских говорах означает «хватать, царапать, цеплять». В переносном смысле так могли назвать цепкого, хваткого человека — того, кто умеет схватить удачу, быстро соображает или, наоборот, любит присвоить чужое. В некоторых диалектах «цапать» — это ещё и «идти, тащиться», так что прозвище могло достаться неповоротливому или медлительному. Многозначность глагола оставляет простор для предположений, но хваткий характер — самая вероятная версия.

Фамилия не имеет дворянского суффикса -ов или -ин, что указывает на её позднее, часто крестьянское или казачье происхождение. Она могла закрепиться в южнорусских и украинских регионах, где глагол «цапати» особенно распространён. В украинском языке «цапати» означает «дёргать, рвать», а «цап» — это козёл (от звукоподражания). Однако связь с животным здесь маловероятна: суффикс -ай образует именно глагольную форму, а не название животного.

Встречаются варианты написания — Цапай, Цапайло, Цапура. Все они однокоренные, но Цапай — самая краткая и прямая форма, без дополнительных суффиксов. Географически фамилия фиксируется в основном на западе России, в Белгородской и Курской областях, а также в восточной Украине. Носителей немного, что делает её редкой и локальной.

Таким образом, предок современного Цапая с высокой долей вероятности получил прозвище за свою хватку или торопливость — и это прозвище закрепилось в виде повелительного глагола, который стал фамилией. Никаких знаменитых исторических личностей с такой фамилией не известно, но это не умаляет её выразительности: она звучит как короткая характеристика, данная когда-то одному человеку.