Фамилия Варницын образована от прозвища Варница, а то, в свою очередь, — от нарицательного «варница», то есть солеварня, место, где из природного рассола вываривали соль. Варница — слово конкретное и ёмкое: на Русском Севере и в Приуралье так называли не просто постройку, а целое производство, вокруг которого возникали слободы и промыслы. Поэтому прозвище Варница давали не случайному человеку, а тому, кто был связан с солеварением: хозяину варницы, мастеру-солевару или работнику на выварке.

Словообразовательная модель здесь прозрачная: суффикс -ин указывает на принадлежность — «чей?» — «Варницын» буквально значит «сын Варницы» или «человек из семьи Варницы». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ и имён, оканчивающихся на -а/-я. Варница — не имя, а именно прозвище по занятию, которое закрепилось за человеком настолько прочно, что перешло к потомкам.

Фамилия редкая и географически привязанная. Солеваренные промыслы исторически были развиты в Соликамском уезде, Тотьме, Старой Руссе, а также в Прикамье. Соответственно, искать корни Варницыных стоит в этих регионах. Встречаемость фамилии по современным данным невысока, что неудивительно: сама профессия солевара была узкой, а варницы как тип производства исчезли ещё в XIX веке, уступив место более крупной промышленной добыче соли.

Интересно, что в русской ономастике существует и фамилия Варников — от того же корня, но с другим суффиксом. Варницын же сохранил более архаичную форму, прямо отсылающую к названию места или промысла, а не к личному имени Варник. Таким образом, если ваша фамилия Варницын, скорее всего, предки были солеварами — людьми, чей тяжёлый труд на варницах кормил целые города и давал соль на всю округу.