Фамилия Велижанова — женская форма мужской фамилии Велижанов, и её происхождение напрямую связано с географическим названием. В основе лежит топоним Велиж — город на северо-западе России, в современной Смоленской области. Жителей этого города и его окрестностей называли «величанами» или «вельжанами» (в старых говорах), а переселенца, указавшего на место своего выхода, прозвали Велижанином. От этого прозвища и образовалась фамилия через типичную для русского языка модель: прозвище + суффикс принадлежности -ов.

Фамилия Велижанов — редкий случай, когда суффикс -анин/-янин не сохранился в основе, а редуцировался. Сравните: если бы прозвище звучало как «Велижанин», то фамилия была бы Велижанинов. Но в разговорной речи окончание отпало, и осталась более краткая форма — Велижанов. Такое усечение встречается у фамилий, образованных от названий жителей городов (ср. Мордвинов от «мордвин», но не от «мордвинин»).

География фамилии подтверждает её происхождение: наибольшая концентрация носителей — в Смоленской области и соседних с ней Тверской и Псковской. Это логично: Велиж — уездный город, оттуда люди расходились по окрестным губерниям. В писцовых книгах XVI–XVII веков нередко встречаются записи вроде «Василий Велижанов, крестьянин» или «Иван Велижанов, посадский человек» — именно так фиксировали выходцев из Велижа.

Версия о происхождении от личного имени Велижан (гипотетического варианта имени Велимир или Велислав) маловероятна. Такие имена в русской антропонимии не зафиксированы, а фамилии на -ов от канонических имён образуются иначе (Велимиров, Велиславов). Топонимическое же объяснение опирается на реальный исторический город и подтверждается массой аналогичных фамилий: Тверитинов, Ржевитин, Муромов.

Если ваши предки носили фамилию Велижанова, скорее всего, они происходят из смоленских или тверских крестьян, мещан или купцов, чья родовая память уходит в небольшой городок на границе с Белоруссией — Велиж, впервые упомянутый в летописи в 1392 году.