Фамилия Велькина — это, скорее всего, женская форма от фамилии Велькин, которая образована по самой распространённой в русском языке модели: от основы на согласный (или -а/-я) с помощью суффикса -ин. Такие фамилии в большинстве случаев означали принадлежность человеку, названному в основе: «чей?» — Велькин, то есть сын или потомок Вельки. Ключевой вопрос — что скрывается за этим прозвищем.

Самая вероятная версия ведёт к слову «вель» — в северных и сибирских говорах так называли великана, богатыря или рослого, сильного человека. В этом случае Велька — уменьшительно-ласкательная форма прозвища Вель, а фамилия указывала на потомка крупного, видного мужчины. Менее распространённая, но возможная версия связывает основу с диалектным «вель» в значении «много» (сравните «вельми» — очень). Тогда прозвище могло относиться к человеку, который делал что-то с избытком, например, много ел или работал.

Нельзя обойти вниманием и финно-угорский след. В языках коми и удмуртов есть слово «вель» — «сила», «мощь». В зонах активного русско-финского контакта (Архангельская, Вологодская, Кировская области) прозвище Велька могло быть переосмыслением местного слова, означавшего сильного или здорового человека. Эта версия особенно правдоподобна, если учесть, что фамилия Велькина встречается именно в северных регионах России.

Обратите внимание на окончание -а: фамилия Велькина в женском роде не склоняется по правилам русской грамматики, но в бытовом употреблении её часто склоняют (Велькиной, Велькину). В официальных документах, однако, она должна оставаться неизменной. Таким образом, ваш предок по мужской линии, скорее всего, получил прозвище Велька за выдающуюся физическую стать или за какой-то избыток в поведении, а фамилия закрепилась в северорусской или приуральской среде.