Фамилия Вереметько — яркий пример украинской модели фамилий на -ко, которая в XVII–XVIII веках была одной из самых продуктивных в Поднепровье и Гетманщине. Такие фамилии образовывались от прозвищ, имен или профессий и часто указывали на принадлежность к казацкой или крестьянской среде, реже — к мещанской. Суффикс -ко в украинской ономастике выполнял уменьшительно-ласкательную или патронимическую функцию, то есть буквально «Вереметько» можно понять как «маленький Веремет» или «сын Веремета».

Основа фамилии — Веремет — скорее всего, восходит к прозвищу, а не к крестильному имени. В русских и украинских говорах слово «веремей» или «вереметь» могло означать «ворчун», «брюзга» или, наоборот, «непоседа», «суетливый человек». Есть версия, что это вариант древнерусского имени Веремуд (от «верети» — говорить и «мудр»), но она менее убедительна: в народной среде такие книжные конструкции приживались редко. Правдоподобнее, что прозвище дали по характеру или поведению — например, человеку, который постоянно что-то бормочет или суетится.

Географически фамилия Вереметько привязана к юго-восточным регионам Украины, особенно к Полтавщине, Черкасщине и Слобожанщине. Это типичная «козацкая» фамилия: в реестрах Войска Запорожского и переписях Гетманщины встречается немало однотипных прозвищ с суффиксом -ко. В XIX веке носители фамилии могли быть казаками, государственными крестьянами или мещанами, но в дворянские родословные книги они, как правило, не попадали — фамилия оставалась народной.

Интересно, что в русском языке фамилию нередко переделывали в Вереметьев, по аналогии с дворянской фамилией Шереметьев, хотя общего корня у них нет. Вереметьев — это просто русификация украинской формы: суффикс -ко заменяли на -ев, чтобы фамилия звучала привычнее для великорусского уха. В документах XIX века можно встретить оба варианта у одних и тех же семей, что говорит о неустойчивости написания в условиях имперской бюрократии.

Таким образом, фамилия Вереметько — украинская по происхождению, народная по социальному корню и прозвищная по смыслу. Её носитель, скорее всего, потомок казака или крестьянина из левобережной Украины, а прозвище предка было связано либо с характером (ворчун, непоседа), либо с говорливостью.