Фамилия Веремейчиков образована от уменьшительно-ласкательной формы Веремейчик, которая, в свою очередь, восходит к мужскому крестильному имени Иеремия. В переводе с древнееврейского это имя означает «возвышенный Богом». Иеремия — один из четырех великих пророков Ветхого Завета, которого считали предтечей Миссии; свою жизнь он описал в «Книге пророка Иеремии».

Словообразовательная модель здесь не самая частая: суффикс -чик указывает на ласкательное или обиходное именование, а затем к нему добавился патронимический суффикс -ов. Фамилии на -иков (от основ на -ик, -чик) встречаются реже, чем на -ов или -ин, и это делает Веремейчиков заметной среди однокоренных — например, Веремеев или Веремейчук.

Поскольку уменьшительная форма Веремейчик могла бытовать в западнорусских и белорусских говорах, есть основания предполагать, что предки носителя фамилии происходили из этих регионов. Там имя Иеремия в народном произношении часто утрачивало начальный слог и превращалось в Веремей, Верема, а от них уже образовывали фамилии с разными суффиксами.

Потомок человека по имени Веремейчик со временем получил фамилию Веремейчиков. Никаких дополнительных сведений о сословной принадлежности или географическом распространении этой фамилии в открытых источниках нет — возможно, она редкая и локальная.