Фамилия Веревенко — характерный пример украинской модели фамилии на -енко, которая в XVII–XVIII веках была распространена в среде казачества и крестьянства Левобережной и Слободской Украины. Суффикс -енко изначально означал «сын» или «потомок», то есть Веревенко — это буквально «сын Веревки» или «человек из рода Веревки». Такие фамилии часто закреплялись за одним родом и передавались по наследству, не меняясь.

Основа фамилии — слово «веревка». В русском и украинском языках оно имеет прямое значение — скрученные нити, шнур. Но в качестве прозвища «Веревка» могло относиться к человеку по нескольким причинам. Самая вероятная — профессиональная: прозвище мог получить канатчик, изготовитель веревок или торговец ими. В ремесленных слободах и на ярмарках такие прозвища были естественны и часто переходили в фамилии. Менее распространённая версия — прозвище по внешности или характеру: высокого, худого, «тягучего» человека могли в насмешку назвать Веревкой. В некоторых говорах «веревкой» называли также вертлявого, непоседливого человека.

Стоит отметить, что фамилия не имеет отношения к глаголу «верещать» или слову «верея» (столб ворот), хотя иногда её путают с ними. Корень здесь однозначно связан с предметом быта. В украинских реестрах казаков и мещан XVII–XVIII веков встречаются отдельные упоминания носителей прозвища Веревка, но как массовая фамилия Веревенко фиксируется в основном в центральных и восточных областях Украины — Полтавщине, Черкасщине, Харьковщине. В России фамилия редка и чаще всего встречается у потомков переселенцев с Украины.

Таким образом, предки современных Веревенко, скорее всего, были ремесленниками, связанными с производством верёвок, или получили прозвище по внешней особенности. Фамилия осталась в исходной украинской форме, без русификации (сравните: в русской традиции могла бы появиться фамилия Веревкин).