Фамилия Забродцкая — вариант женского рода, мужская форма — Забродцкий. Это типичная «географическая» фамилия, образованная по модели, распространённой на западе и юго-западе бывшей Российской империи: от названия населённого пункта с помощью суффикса -цк- (в русском варианте -ский/-цкий). Исходное название — скорее всего, деревня или село Забродье, которых на картах Украины, Беларуси и Польши десятки. Корень «брод» указывает на мелкое место в реке, где можно перейти на другой берег; приставка «за-» уточняет положение: «за бродом», «по ту сторону брода». Таким образом, Забродье — это поселение, возникшее за речной переправой.

Суффикс -цк- вместо более привычного -ск- — не ошибка, а фонетическое изменение. В словах, основа которых заканчивается на «д», «т», «з», «с», при добавлении -ск- происходит стяжение: Заброд-ск-ий превращается в Заброд-цк-ий. Такое же явление мы видим в фамилиях Полоцкий (от Полотск), Елецкий (от Елец) или, например, в прилагательном «заводской» (от завод). Поэтому Забродцкий — это «родом из Забродья», «забродский», но в произношении и на письме закрепился более компактный вариант.

Фамилия почти наверняка дворянского или шляхетского происхождения, но не обязательно титулованного. В Речи Посполитой, а затем на украинских и белорусских землях, вошедших в состав Российской империи, фамилии на -цкий/-ский были маркером принадлежности к шляхте или, как минимум, к землевладельцам. Крестьяне в этих краях долго обходились без фамилий или получали их позже по имени отца или по ремеслу, а вот владельцы усадеб и фольварков часто брали фамилию по названию своего имения. Так что предки носителя фамилии Забродцкий, скорее всего, владели землёй в окрестностях одного из сёл Забродье.

Спорных версий происхождения у этой фамилии почти нет. Корень «брод» настолько прозрачен, а топонимов Забродье так много, что искать другое объяснение — например, от прозвища Заброда (человек, который забрёл куда-то) — было бы натяжкой. Прозвище могло дать фамилию Забродин, но не Забродцкий: суффикс -цкий прочно привязан к географическим названиям. Поэтому единственная правдоподобная версия — топонимическая.

Встречается фамилия в основном в западных областях России (Брянская, Смоленская), на востоке Украины и в Беларуси. Встречается нечасто, что подтверждает её локальное происхождение от конкретной деревни, а не от массового прозвища. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите корни в документах XIX века по месту жительства — скорее всего, они укажут на небольшое село с названием Забродье, которое сегодня может уже не существовать.