Фамилия Заднинский — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищную. Она образована по продуктивной модели с суффиксом -ск-, который в русских фамилиях чаще всего указывает на происхождение от названия места: села, деревни, урочища. Основа здесь — «Заднее» или «Задняя». В России и на Украине множество топонимов с таким корнем: деревни Заднее, Задняя, Задни, Задново. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвище «Заднинский» — то есть выходец из Заднего.

Менее вероятна, но не исключена версия от прозвища Задня (Задний). В диалектах так могли назвать человека, который жил на задворках, в отдалении от центра села, или того, кто постоянно оказывался позади — в работе, в строю, в очереди. Однако для фамилий на -ский прозвищная основа встречается реже, чем топонимическая. К тому же суффикс -ин- в середине (Задн-ин-ский) скорее указывает на принадлежность к конкретному роду из Заднего, чем на прямое прозвище.

Фамилия не относится к числу дворянских или широко распространённых. В дореволюционных источниках она встречается спорадически, в основном в центральных и северо-западных губерниях России, а также среди переселенцев на Урал и в Сибирь. По звучанию её можно спутать с фамилией Задонский (от города Задонск), но корни разные: Задонский — от «за Доном», а Заднинский — от «задний» или «Заднее». Ударение, скорее всего, падает на второй слог: ЗаднИнский, хотя в бытовой речи встречается и вариант с ударением на последний слог.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать в метрических книгах и ревизских сказках населённые пункты с названием Заднее, Задняя или Задни в той местности, откуда родом семья. Это даст более точный ответ, чем общие рассуждения.