Фамилия Занькина — это женская форма, а её мужской вариант — Занькин. Сама фамилия образована от имени или прозвища Занька. В основе лежит уменьшительно-ласкательная форма Заня, которая, в свою очередь, происходит от крестильного имени Захар (от древнееврейского «память Господня»). В русской народной традиции имена часто усекали: Захар превращался в Заню, а затем, по той же модели, в Заньку. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Занькин буквально значит «сын Заньки» или «человек из семьи Заньки».

Модель образования проста и типична для восточнославянских фамилий: прозвище на -ка, к которому добавили притяжательный суффикс -ин. Схема «Занька → Занькин» повторяет сотни других фамилий вроде Ивашкин, Васькин, Петькин. Однако есть и другая версия, менее вероятная: основа могла быть связана с диалектным глаголом «занькать» — в некоторых говорах так называли человека, который говорит в нос, гнусавит. Но в ономастических работах (например, у Б. Унбегауна) предпочтение отдают антропонимическому происхождению — от имени Захар.

Географически фамилия Занькина встречается в центральных и южных регионах России, а также в Поволжье. В XIX веке она фиксировалась в основном среди крестьян и мещан — сословий, где фамилии образовывались от простонародных форм имени, без книжного влияния. Интересно, что в некоторых переписях встречается вариант Занкин — с утратой мягкого знака, что говорит о живой устной традиции: звук [н’] перед [к] мог отвердевать.

Таким образом, если вы носите фамилию Занькина, с высокой вероятностью ваш предок по мужской линии носил имя Захар, а в быту его звали ласково Занькой. Фамилия не дворянская, не искусственная — она выросла из повседневного обихода, из тех форм, которые звучали в крестьянской избе.