Фамилия Занькова — женская форма, а её основа — мужское прозвище Заник или уменьшительное Занько. В русских и украинских говорах суффикс -к- часто образовывал краткие, обиходные формы личных имён и прозвищ, поэтому Занько могло быть производным от имени Иван (через форму Заня, где начальное «И» отпало, а «в» перешло в «з» под влиянием южнославянских или западных диалектов). Однако основная версия связывает фамилию с украинским глаголом «заникати».

У этого глагола два значения: «заглядывать, заходить» и «слабеть, погасать». От первого значения прозвище Заник могли дать человеку, который был всегда желанным гостем — заходил в дом, заглядывал по делу или в гости, и его появлению радовались. Второе значение — «слабеть, погасать» — работает иначе: такое прозвище давали как оберег. Родители называли ребёнка Заником (слабый, угасающий), чтобы обмануть злые силы и отвести от него болезни, надеясь вырастить здорового и крепкого сына.

Есть и третья, менее правдоподобная версия: от диалектного глагола «заниколить» — «праздновать, начать пить без меры». Тогда прозвище досталось бы человеку весёлому, любящему погулять на широкую ногу. Но эта гипотеза слабее, потому что глагол редкий и локальный, а «заникати» широко известно в украинской речи.

Так или иначе, фамилия Занькова — типичная для восточнославянского ономастикона модель: прозвище на -к(о) плюс притяжательный суффикс -ов. Встречается она в основном на территории Украины и в южных областях России, где были сильны украинские говоры.