Фамилия Заринская или Заринский — это типичная «географическая» фамилия, образованная по модели, распространённой в среде русского дворянства и духовенства. Суффикс -ский указывает на связь с местностью: такую фамилию получал либо помещик по названию своего имения, либо выпускник семинарии — по названию родного села или прихода. Поэтому первая и самая вероятная версия: предок носителя фамилии был выходцем из места с корнем «зар-» — например, села Заря, Заречье или урочища Заринское. В говорах «заря» могла означать не только небесное явление, но и яркий блеск, отсвет, что тоже могло стать прозвищным именем для местности.

Вторая версия, более редкая, но тоже возможная, — происхождение от мирского имени Заря. Наши предки часто давали детям имена по времени рождения: Вечер, Полуночь, Зима, Вьюга. Ребёнка, появившегося на свет на утренней или вечерней заре, могли назвать Зарёй. От этого имени по цепочке образовалось отчество Зарин (сын Зари), а затем — фамилия Заринский, то есть внук Зари. Такая модель — «мирское имя + -ин + -ский» — встречается, но реже, чем топонимическая, и обычно в крестьянской или мещанской среде.

Менее убедительно выглядят попытки вывести основу «Зар-» из библейских имён вроде Назар, Захар или Лазарь. Фонетического сходства здесь недостаточно: суффикс -инский присоединялся к полным формам этих имён (Назаринский, Захаринский, Лазаревский), а не к усечённым. К тому же имя Заря как самостоятельное славянское имя хорошо задокументировано в старых писцовых книгах.

Таким образом, фамилия Заринский в подавляющем большинстве случаев говорит о географическом происхождении её первого носителя. Если ваши предки были священниками или дворянами, корни, скорее всего, ведут к конкретному селу или погосту. Если же родословная уходит в крестьянство, нельзя исключать вариант с прозвищем Заря — в честь времени суток, когда родился далёкий предок.