Фамилия Затай — редкая и нестандартная для русского уха. В ней нет типичных фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский), которые сразу указывают на происхождение от отчества или прозвища. Это так называемая «застывшая» форма, скорее всего, прозвищного происхождения, которую не переоформляли в притяжательное прилагательное. Такие фамилии чаще встречаются на юге России и Украине, где под влиянием украинского языка фамилии могли записывать в чистой основе.

Самое прямое и правдоподобное объяснение — связь с глаголом «затаить». Прозвище Затай могли дать человеку скрытному, молчаливому, который держит мысли при себе. В говорах «затаиться» означало притихнуть, спрятаться, залечь. В таком случае фамилия — характеристика поведения, типичная для русской антропонимии XVI–XVII веков, когда крестьянам и посадским людям давали прозвища по чертам характера.

Есть и другая, менее очевидная версия. В тюркских языках (особенно в казахском и татарском) слово «затай» или близкое к нему может означать «запас», «тайник», «скрытое место». Учитывая, что фамилия не имеет русского суффикса, нельзя исключать её тюркские корни. В таком случае предок мог быть человеком, ведающим запасами, или получить прозвище по месту жительства у укромного места. Однако эта версия требует дополнительных генеалогических изысканий — без подтверждения из семейных преданий или архивов она остаётся гипотезой.

Обратите внимание на написание: фамилия оканчивается на «-ай», что роднит её с другими редкими русскими фамилиями-прозвищами вроде Бодай, Ступай, Дерзай. Такие формы часто возникали из повелительного наклонения глагола, но в случае с «затай» это маловероятно — повелительная форма «затай» от «затаить» звучит неестественно. Скорее всего, перед нами усечённая основа, где конечное «-й» — часть корня, а не окончание.

Географически фамилия встречается разрозненно, без ярко выраженного гнезда. В дореволюционных метрических книгах единичные носители попадаются в южнорусских губерниях (Курская, Воронежская) и среди казачества. Сословно — почти всегда крестьяне или мещане. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Если ищете корни, советую начать с проверки фамилии по ревизским сказкам и исповедным ведомостям Курской и Воронежской губерний за XVIII–XIX века. Там, скорее всего, обнаружится прозвище, а не привозная тюркская фамилия.