Фамилия Затынко — украинская по происхождению, и её ключ лежит в глаголе «затинати», то есть «ударять», «зарубать». От этого слова в народе и родилось прозвище Затынко. Вопрос лишь в том, за что именно так назвали человека: за профессию или за характер.

Первая и самая прямая версия — профессиональная. «Затинати» могло относиться к работе с топором: строитель, плотник или лесоруб, который «затинает» дерево, делает зарубки. В этом случае прозвище Затынко было дано по роду занятий, как, скажем, Кузнец или Мельник. Такая модель образования фамилий от глагольной основы с суффиксом -к(о) типична для украинской ономастики: ср. Непейко, Тягнибок, Задеренко.

Вторая версия — характеристика человека. Если прозвище Затынко дали не за работу, а за поведение, то речь шла о человеке вспыльчивом, драчливом, который мог «затинати» — бить, распускать руки. В украинских говорах слово могло нести и оттенок упрямства: «затинатися» значит упираться, настаивать на своём.

Обратите внимание на суффикс -к(о): в украинской традиции он часто указывает на происхождение из западных или центральных областей (Подолье, Волынь, Галичина). В отличие от русских фамилий на -ов/-ев или -ин, украинские на -ко (Затынко, Бойко, Шевченко) исторически были распространены среди казачества и мещанства, а не только в крестьянской среде.

Спорных версий здесь немного: некоторые исследователи пытаются связать «затынко» со словом «тын» (забор, плетень), но такой переход менее убедителен — глагол «затинати» даёт более ясную и прямую семантику. Так что, скорее всего, ваш предок был либо человеком с топором, либо человеком с крутым нравом, а возможно — и то и другое вместе.