Фамилия Заватцки — один из тех случаев, когда написание по-русски скрывает польское происхождение. Это типичная фамилия на -цкий, образованная по польской модели от названия места. Исходная форма, скорее всего, звучала как Завацкий или Завадзкий, а в русской записи «ц» перед «к» могло закрепиться из-за особенностей произношения или передачи через немецкое посредничество.

Основа фамилии — польское слово «zawada» (завада, помеха, препятствие) или топоним Завады (Zawady). Таких сёл и деревень в Польше несколько десятков. Фамилия Завацкий (или её вариант Заватцки) означает «тот, кто родом из Завад». Человек, получивший такое прозвище, мог жить у завалов на дороге, у плотины или просто в местности с таким названием. Суффикс -цкий указывает на дворянское или шляхетское происхождение в польской традиции, хотя в России такие фамилии носили и крестьяне, и мещане, вышедшие из польских или белорусских земель.

Интересно, что в русских документах фамилия встречается в нескольких написаниях: Завацкий, Завадский, Заватцкий. Форма с буквой «т» (Заватцки) — результат ассимиляции: сочетание «дц» произносится как «тц», и это иногда отражалось на письме. Такое написание характерно для записей XIX — начала XX века, когда фамилию фиксировали на слух чиновники, не знакомые с польской орфографией.

Если ваши предки носили фамилию Заватцки, велика вероятность, что они происходят из западных губерний Российской империи — бывших земель Речи Посполитой: Виленской, Гродненской, Минской или Волынской. В этих регионах фамилии на -цкий были распространены среди местной шляхты и крестьян. Однозначно утверждать о дворянском статусе без генеалогического исследования нельзя, но сама модель образования фамилии на это указывает.