Фамилия Заврин образована от личного прозвища, и её корни ведут к польскому слову zawor («вентиль, клапан») или к родственному русскому слову «завора». У «заворы» богатая палитра значений: запор, засов, поперечная жердь для запирания ворот; межа или уступ между двумя полями; околица, забор; а также крутой берег, крутояр, опасный для проезда. Такая многозначность открывает сразу несколько версий происхождения прозвища.

Скорее всего, Завором или Заврой называли сторожа у околицы — того, кто следил за засовом и запирал ворота. Либо прозвище прилеплялось к человеку, живущему у межи, на границе полей или возле крутого обрыва. В переносном смысле «заворой» могли окрестить необщительного, замкнутого человека — как бы «запертого» внутри себя, отгороженного от мира.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Заврин — «сын Завры» или «из семьи Завора». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я: сначала прозвище давали одному человеку, затем оно закреплялось за его потомками в форме притяжательного прилагательного.

Географически фамилия тяготеет к западным и юго-западным русским землям, где польское влияние было сильнее, а слово «завора» бытовало в местных говорах. Встречаются однокоренные фамилии — Заворов, Завров, Заворкин, — но Заврин выделяется именно суффиксом, характерным для прозвищ с конечным -а.

О точном времени возникновения фамилии говорить сложно: процесс её закрепления шёл несколько столетий, и письменные источники по Завриным скудны. Однако даже по сохранившимся данным ясно, что фамилия — живой след славянской бытовой лексики, где за простым прозвищем стоит целый мир крестьянских занятий, границ и запоров.