Фамилия Заййцева — редкий случай, когда написание напрямую указывает на возможную историю её возникновения. Удвоенная «й» в корне не характерна для стандартной русской ономастики. В большинстве русских фамилий, образованных от прозвищ или имен, мы видим «Зайцев» (от заяц). Здесь же двойная «й» — почти наверняка следствие либо диалектного произношения, либо искусственного, книжного способа записи фамилии при её фиксации в документах.

Скорее всего, основа фамилии — не прямое прозвище «Заяц», а производная форма имени или прозвища Зайка, Заюшка, где мягкий звук [й] на стыке корня и суффикса усилился на письме. В русских говорах, особенно северных и сибирских, существовала форма «зайка» (ласкательное от заяц), и фамилии вроде Зайкин, Зайков встречаются часто. Вариант Заййцев мог возникнуть, когда писарь, записывая крестьянина по прозвищу Зайка, механически прибавил стандартный фамильный суффикс -ев, получив «Зайка + ев», что на слух дало «Заййцев». Такое удвоение — не ошибка, а гиперкорректная передача живого произношения.

Менее вероятна, но возможна связь с топонимом: если предки происходили из деревни с названием вроде Заййцево (такие встречаются в Тверской и Псковской областях). В этом случае фамилия указывала бы не на прозвище, а на место жительства, и её написание закрепилось за конкретным родом. При этом суффикс -ев в обоих случаях работает одинаково: он присоединяется к основе, оканчивающейся на согласный или, как здесь, на йот.

По сословному происхождению каких-то особых примет нет: Заййцевы могли быть и крестьянами, и мещанами. Уникальность фамилии в том, что её носители, скорее всего, принадлежат к одному или нескольким очень локальным родам. Если вы встретили человека с фамилией Заййцева, велика вероятность, что у неё и у фамилии Зайцев — разные корни, несмотря на кажущуюся близость. Первая — результат живого диалектного словообразования, вторая — стандартное литературное прозвище.