Фамилия Жданкий — редкая и неочевидная. На слух она напоминает прилагательное, но по правилам русской антропонимии её следует считать формой на -ский, пусть и с нестандартным окончанием. Основа здесь — «ждан-», от древнерусского нецерковного имени Ждан. Так называли долгожданного, желанного ребёнка, особенно если до него дети умирали или рождались одни девочки. Имя Ждан было распространено на Руси с XIV века, и от него пошли фамилии Жданов, Жданкин, Жданович. Жданкий — явно более поздняя, искусственная форма, вероятно, возникшая в среде духовенства или при записи в ревизские сказки, когда писарь переделал народное «Жданков» или «Жданский» в книжный вариант.

Сам суффикс -ский в фамилиях обычно указывает на принадлежность к местности или сословию, но здесь он присоединён к личному имени, что нетипично. Скорее всего, это «семинарская» фамилия — такие давали выпускникам духовных училищ, чтобы отличать их от крестьянских Ждановых. Священники любили облагораживать фамилии, заменяя просторечные суффиксы на -ский. В этом смысле Жданкий — ровесник фамилий типа Десницкий или Сперанский, только с более прозрачной основой.

Географически фамилия почти не встречается. Она не фиксируется в массовых списках XIX века, не отмечена в словаре Унбегауна и не имеет известных носителей в истории. Это говорит о том, что она либо угасла, либо сохранилась в единичных родах. Возможно, в каком-то селе жила семья, где фамилию записали с ошибкой: вместо Жданский — через «к». Такие описки при переписях бывали, и тогда фамилия застывала в аномальной форме.

Если коротко: Жданкий — это фамилия-загадка. Вероятнее всего, потомок человека по имени Ждан, который получил «учёный» суффикс в семинарии или случайную букву в паспорте.