Фамилия Жыгарев — редкий случай, когда написание сразу выдаёт диалектную или историческую особенность. Буква «ы» после «ж» для русского литературного языка нехарактерна: в норме мы пишем «жи» через «и». Такое написание (Жыгарев вместо Жигарев) могло закрепиться в документах, если предки говорили на южнорусском или белорусском говоре, где «ы» после шипящих произносили твёрдо, или если фамилию записывали со слуха в эпоху, когда орфография ещё не устоялась. В любом случае, основа у фамилии та же, что и у распространённых Жигарев, Жигалов, Жиганов.

Корень — «жиг-», от глагола «жигать» (устаревшее и диалектное «жечь», «поджигать»). В старину жигарем называли того, кто разжигает огонь: истопника, печника, а иногда — поджигателя или человека с буйным, «огненным» нравом. В некоторых говорах жигарем могли прозвать бойкого, торопливого работника, который «горит» на деле. Таким образом, фамилия Жыгарев — типичное «отчество второго порядка»: сначала человека дразнили Жыгарь (или Жигарь), а потом его дети стали Жыгаревыми, то есть «чьи? — Жыгаревы».

Морфологически фамилия образована по самой массовой русской модели с суффиксом -ев, который присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий. Интересно, что в написании с «ы» этот суффикс остаётся стандартным, а необычная буква в корне — единственное, что отличает фамилию от более частого варианта Жигарев. Встречаемость фамилии Жыгарев крайне низкая; она сосредоточена в основном в западных и южных регионах России, а также в Беларуси, где твёрдое произношение шипящих — норма.

Версия о происхождении от тюркского корня (например, от «жыга» — «сборщик» или «всадник») маловероятна: на территории России и Украины фамилия вписана в чисто восточнославянскую словообразовательную схему, и её прозрачная этимология из русского диалектного слова не оставляет пространства для заимствований. Если вы встретили написание Жыгарев в старых метрических книгах или современных документах, скорее всего, это не ошибка, а сохранённый след местного произношения, который фамилия пронесла через века.