Фамилия Зинькина — женская форма фамилии Зинькин, а та, в свою очередь, образована от мужского личного имени Зинька. Это не просторечный вариант церковного имени Зиновий (от греческого «Зенобиос» — «живущий богоугодно»), а скорее уменьшительно-ласкательная форма, распространённая в южнорусских и украинских говорах. В дореволюционной России имя Зиновий было довольно популярным в крестьянской и мещанской среде, и от него образовалось множество бытовых сокращений: Зина, Зинка, Зиня, Зинька.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Зинькин буквально означает «сын Зиньки» или «человек из семьи Зиньки». Такая модель — одна из самых распространённых в русской ономастике (ср. Петров, Иванов, но с суффиксом -ин: Пушкин, Ильин). Интересно, что основа Зиньк- содержит суффикс субъективной оценки -к-, который в имени собственном мог нести и ласкательный, и пренебрежительный оттенок — в зависимости от контекста. В быту так называли младшего члена семьи или ребёнка, а позже прозвище закрепилось за родом.

Географически фамилия Зинькина тяготеет к югу России и Украине: её фиксируют в Курской, Белгородской, Воронежской областях, а также в Слобожанщине. Встречаются варианты написания с одной «н» (Зинькина), но это скорее орфографическая ошибка: по правилам русского языка двойная «н» в суффиксе притяжательных прилагательных не нужна, поэтому форма Зинькин — нормативная. Двойное «н» иногда возникает под влиянием фамилий на -инн (например, старинных боярских), но к Зинькину это не относится.

Отдельного внимания заслуживает редкая параллельная фамилия Зиньковский — она уже не просто «сын Зиньки», а «выходец из села Зиньково» или «помещик, владевший таким селом». Зинькина же — фамилия демократичная, крестьянская по происхождению. В ней нет ни дворянского суффикса -ский, ни географической привязки к топониму: это прямое указание на предка по имени Зинька, жившего, скорее всего, в XVIII–XIX веках. Если ваши предки носили эту фамилию, можно с высокой вероятностью предположить, что они были государственными или помещичьими крестьянами южнорусских губерний.