Фамилия Зябловская — женская форма фамилии Зябловский, и её разбор стоит начать с суффикса. Суффикс -ск- в русских фамилиях указывает на происхождение от географического названия (топонима) или на принадлежность к месту. Такие фамилии чаще всего носили дворяне (по названию имения) или выходцы из духовенства, которым давали фамилии по названию села или храма. Но не стоит спешить с выводами: в случае Зябловских корень «зябл-» может вести в другую сторону.

Основа фамилии — «зяб-», от глагола «зябнуть» (мёрзнуть, стынуть) или от слова «зяблый» (зябкий, чувствительный к холоду). В русских говорах «зяблый» могло быть прозвищем зябкого, мерзлявого человека. Если фамилия образована от такого прозвища, то модель Зябловский — это вторичная форма: сначала было прозвище Зяблый, от него образовалась фамилия Зяблов (как «чей сын?»), а уже от неё — Зябловский, по модели «принадлежащий к роду Зябловых». Такая цепочка встречается, но реже, чем прямой топонимический вариант.

География подсказывает, что фамилия Зябловские встречается в основном на западе и северо-западе России, а также в Беларуси и на Украине. Там есть несколько деревень и урочищ с названием Зяблово (например, в Псковской и Смоленской областях). Скорее всего, предок носителя фамилии был либо помещиком, владевшим таким имением, либо крестьянином, которого записали по названию родной деревни. В духовном сословии фамилию могли дать по храму в честь какого-нибудь святого, но прямых параллелей с «зябким» корнем в церковных названиях нет.

Интересная деталь: фамилия Зябловский (и её женская форма) — не массовая, а довольно редкая. Это значит, что у большинства носителей, вероятно, один общий предок или небольшое число родоначальников. Если сравнивать с однокоренными фамилиями (Зяблов, Зябликов, Зябкин), то Зябловская стоит особняком: суффикс -ск- придаёт ей оттенок «дворянского» или «географического» происхождения, тогда как Зяблов — типичная патронимическая фамилия (от отчества). Поэтому, если вы встретили Зябловскую, велика вероятность, что её предки происходили из конкретного села Зяблово, а не просто от прозвища мерзлявого человека.

В написании фамилия устойчива: вариант Зябловский (с двумя «с») — единственно верный, путаница с одной «с» (Зябловский) встречается в старых документах из-за ошибок писцов, но норма закрепилась с двойным суффиксом.