Фамилия Зябрикова — женская форма фамилии Зябриков, и её разговорный вариант с ударением на второй слог (Зя́бриков) встречается реже, чем на третий (Зябрико́в). Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Зябрик, которое, скорее всего, связано с диалектным словом «зябрь». В русских говорах, особенно северо-западных и псковских, «зябром» называли зяблика — лесную птичку из семейства вьюрковых. Прозвище могли дать человеку за звонкий голос, подвижность или за то, что он, как зяблик, первым чувствовал наступление холодов и кутался в тёплую одежду.

Суффикс -ик в основе указывает на уменьшительно-ласкательную форму: Зябрик — это «маленький зяблик» или «сын Зября». Само слово «зябрь» — вариант названия птицы, который закрепился в некоторых диалектах как «зяблик» или «зябрица». В ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна) фамилии от названий птиц — распространённый тип, но конкретно «Зябриков» — довольно редкий случай. Его можно спутать с фамилией от глагола «зябнуть» (мёрзнуть), но птичья версия надёжнее: в говорах «зябрый» — это именно зяблик, а не замёрзший человек.

Географически фамилия тяготеет к Псковской и Новгородской областям, а также к северу Тверской земли — тем краям, где сохранилось диалектное слово «зябрь». В XIX веке крестьяне с такой фамилией могли жить в деревнях, где зябликов было много, и прозвище прикрепилось к роду. Сословно Зябриковы — почти наверняка крестьянский род: прозвища от птиц и животных в этой среде давали чаще, чем в дворянской или купеческой. Встречается и вариант Зябриков с ударением на первый слог, но он, вероятно, вторичный — возник под влиянием литературного произношения слова «зяблик».

Таким образом, если ваши предки — Зябриковы, они, скорее всего, получили фамилию от прозвища, данного за голос, повадки или внешнее сходство с птицей. Это не фамилия-оберег и не указание на профессию — просто меткое народное прозвище, которое пережило века.