Фамилия Зяброва — это «женская» форма фамилии Зябров, и чтобы понять её происхождение, нужно разобраться с мужским вариантом. В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Зябр. В русских говорах слово «зябр» или «зябра» имело несколько значений, и все они связаны с внешностью или поведением человека. Самое распространённое объяснение — «зябрый» в значении «озябший, мёрзнущий, зябкий». Такое прозвище могли дать человеку, который постоянно мёрз, кутался, жаловался на холод, или же тому, кто родился в холодное время года. В этом случае фамилия относится к группе «характерологических» прозвищ, которые описывали привычки или физические особенности.

Менее очевидный, но более интересный вариант связан с диалектным словом «зябра» — так в некоторых областях называли скулу, челюсть или даже рот (сравните с современным «зябра» как часть рыбы). В таком случае прозвище Зябр мог получить человек с крупными скулами или выступающей челюстью. Эта версия подкрепляется тем, что в древнерусских прозвищах части тела — один из самых частых источников (сравните фамилии Носов, Губин, Щёкин). Третье, более редкое значение — «зябр» как вид растения или, в переносном смысле, «неряха, неопрятный человек» (от глагола «зябнуть» в значении «портиться, гнить»).

Модель образования проста: к основе Зябр- добавился типичный русский суффикс притяжательности -ов, что означает «сын Зябра». Фамилия Зябров (и, соответственно, Зяброва) бытует преимущественно в северных и центральных регионах России — в Вологодской, Архангельской, Костромской областях. Это неслучайно: суровый климат делал прозвища, связанные с холодом, особенно актуальными. В отличие от фамилий на -ин, образованных от основ на -а/-я (Зябрин), вариант Зябров указывает на то, что исходное слово было мужского рода (зябр, а не зябра). Если бы прозвище звучало как Зябра, фамилия была бы Зябрин.

В словаре древнерусских имён и прозвищ С. Б. Веселовского «Ономастикон» встречается упоминание Зябра — как личного имени или прозвища, что подтверждает: это не случайное, а вполне устоявшееся прозвание. Таким образом, предки современных Зябровых — это, скорее всего, крестьяне или посадские люди из северных губерний, получившие фамилию по прозвищу своего родоначальника.