Фамилия Агашко звучит на украинский или белорусский лад, и суффикс -ко — главная подсказка. В Украине и Беларуси так образовывали фамилии от личных имён, прозвищ и названий профессий, и этот суффикс выполнял роль патронимического показателя, как русские -ов/-ев, но с региональным колоритом. В основе фамилии лежит имя Агашка — просторечная, уменьшительная форма от Агафья или Агапия. Агафья (от греческого «агатос» — хорошая, добрая) была распространённым женским именем, а в быту его сокращали до Агаши, Агашки. Таким образом, Агашко — это «сын или потомок Агашки», то есть человек, чью мать или бабушку звали Агафьей.

Мужские фамилии на -ко нередко образовывались от женских имён, и это не редкость в восточнославянской ономастике. Если бы основа была мужской, скажем, от имени Агафон, мы бы получили Агафоненко или Агафонов. Здесь же суффикс указывает на то, что прозвище закрепилось за ребёнком по матери — возможно, вдове или женщине, которая играла заметную роль в семье. В некоторых говорах «агашка» могло быть и прозвищем для бойкой или своенравной женщины, но первичное значение всё же именное.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: от мужского имени Агафон через его уменьшительную форму Агашка. Тогда фамилия означала бы «потомок Агафона». Однако суффикс -ко в этом случае чаще давал бы вариант Агафонко. Поэтому версия с женским именем Агафья выглядит убедительнее.

Географически фамилия Агашко встречается в основном на западе Украины, в Беларуси и среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. В России она редкая, что подтверждает её региональное происхождение. Сословного статуса у такой фамилии, скорее всего, не было — её носили крестьяне или мещане, у которых фамилии закрепились поздно, в XVIII–XIX веках, часто по имени матери или бабушки.

Словообразовательная модель проста: корень «агаш-» (от Агашка) плюс суффикс -ко, который выполнял роль притяжательного показателя. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые преобладают в России, украинское -ко делает Агашко узнаваемой и сразу указывает на юго-западные земли. Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Агашко стоит в одном ряду с Агафоновым, но последний — типично русский вариант, а Агашко — его региональный аналог, где женское имя в основе даёт более редкую модель.